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Noviembre 01, 2004

Proporción (y 2)

Breves resúmenes sobre proporción, sección áurea y números de Fibonacci.

En el artículo anterior definíamos proporción, y especulábamos sobre los mejores puntos en que situar las articulaciones formales de la obra.

Sitios en que la articulación es frecuente

El estudio de ejemplos musicales, revela que los ejemplos breves tienden a tener su articulación en la mitad de la obra. Así ocurre en este ejemplo de Mozart, que ya vimos con anterioridad.

Cuanto más extensas sean las obras, o fragmentos formales, más corriente se hace que estos puntos relevantes tiendan a situarse alrededor del 60 ó 65% de la duración de la obra. Es evidente que una vez que se alcanzan los momentos de máximo interés, extenderse demasiado más tiempo resultaría monótono. Observemos este ejemplo, también ya analizado, de Bach.

En él podemos observar que el punto de máxima tensión ocurre en la caída en el compás 15, lo que representa el 63,6% de la duración de la obra. Es también comentable que entre la articulación menor que se da en la caída del compás 7 y la del 15 ocurre el 57,1% de la extensión hasta ese momento. (Consejo: quién lo necesite que relea el artículo sobre recursividad, en próximos artículos va a ir siendo progresivamente más necesario).

La sección áurea

Existe un concepto sobre la proporción llamado sección áurea. Viene a darse cuando la proporción entre una parte y el todo es idéntica a la relación entre el resto y la parte. Como definición, puede mejorarse, y aquí tenéis una lista de sitios donde lo hacen:

1. En forma más bien geométrica. Hay referencias a Fibonacci y al arte.
2. De forma mas aritmética. También hay referencias a Fibonacci, y algún gráfico muy útil.
3. Del rincón del vago (sí, queridos alumnos, los profesores sabemos de la existencia del rincón del vago, ojito con copiarlo ^—^).
4. Imágenes interesantes.
5. Estudios gráficos sobre su relación con la pintura.

Quizá hayáis observado que en algunas de las páginas dan el valor de la sección áurea como 0, 618… y en otras como 1,618…. Son recíprocos (o sea, 1 partido por 0.618 da 1,618 y viceversa). Es decir, el primero expresa la proporción entre el todo y la parte y el segundo entre la parte y el todo. Para nuestros propósitos va a ser, en general, más conveniente considerar que la duración de una obra equivale a uno, así que emplearemos 0,618 como valor de la sección áurea.

Efectivamente, la proporción áurea se da con cierta frecuencia en música, al menos en el sentido de que los puntos de articulación de muchas obras tienden a aproximarse a ella. De la misma forma que los puntos importantes de los diverso niveles mesoformales. Es importante darse cuenta de que en la mayor parte de la historia, condicionantes tales como el compás hacen imposible que la proporción áurea se produzca con exactitud. Aproximaciones como las que hemos visto en la obra de Bach, o más precisas, son corrientes (en los casos en que se produce, cuanto más larga sea la obra, tanto mayor puede ser la precisión). Algún caso veremos, si ustedes quieren.

Mis opiniones sobre la sección áurea en música

1. Las aproximaciones a la sección áurea en música se dan con suficiente frecuencia como para poder descartar que sea un fenómeno casual. Eso no presupone en ningún caso que el autor deba haber tenido conocimiento de la existencia de ese fenómeno. Si de alguna forma esa es una relación especialmente agradable al ser humano, se debe poder llegar a ella mediante procedimientos intuitivos o prácticos (o místicos, para quién siga creyendo que las musas llaman al móvil del compositor), que serán tan válidos y no más ni menos, como un procedimiento especulativo.
2. Hay que destacar que, en mi experiencia, la sección áurea aparece con mucha mayor probabilidad en las músicas que tienen un carácter narrativo, tal y como se define el término aquí, en el apartado Lo narrativo como estructura dramática y que busquen el tiempo dialéctico. Muchas otras músicas existen de espléndido funcionamiento donde no se detecta esta proporción, de forma que no debe considerarse una ley universal. También hay que considerar que la proporción puede aparecer en niveles mesoformales y no macroformales, o al contrario. Esto va a resultar tanto más cierto en obras de gran longitud, como óperas, donde la retentiva humana sería incapaz de distinguir esa proporción.
3. Especular sobre posibles repercusiones sobrenaturales de todo ello no añade nada a nuestro conocimiento de la obra. Incluso es cuestionable la especulación sobre que responda a un sentido de la proporción natural de los cuerpos humanos, en la medida en que el oído es un sentido distinto de la vista.
4. Destaco que uso siempre la expresión aproximación a la proporción áurea. Buscar la precisión absoluta conduce en demasiadas ocasiones a tener que falsear resultados, cosa que me parece inaceptable.
5. El conjunto de todo lo anterior me lleva a conjeturar que, en una posible teoría musical futura haya un subgrupo de tipos formales que, por alguna razón, tiendan a provocar la aparición de esta relación. Alguna especulación al respecto haré hablando de Bartók.

Los números de Fibonacci y la sección áurea

En este artículo presenté informalmente la serie de Fibonacci —dicho sea de paso, de otra fuente me llega que los animales implicados no eran gallinas sino conejos, pero en mis libros de referencia (que tampoco son muy fiables) siguen siendo gallinas, así que, sin acceso al texto original, no me veo en la necesidad de cambiar lo que escribí—En los artículos que vinculé más arriba podéis haber encontrado informaciones más formales sobre ella.

Bueno será en todo caso recordar que es una serie de números en que cada uno es la suma de los dos anteriores. Sus dos primeros miembros (al menos los dos primeros miembros relevantes para su uso en música) son 1 y 2, de forma que la serie sería:

1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144…

Serie, por cierto, tan útil que a muchos nos sirvió para una aproximación rápida a la conversión entre pesetas y euros.

Esta serie presenta una propiedad que la emparenta con la proporción áurea. Si dividimos cada miembro de la misma por el siguiente, vamos encontrando cifras que cada vez se acercan más a ella.

• 1/2= 0,5. Un error de 0, 118.
• 2/3=0,666, un error de 0, 048
• 3/5=0,6. Un error de 0, 018
• 5/8=0,625. Un error de 0,007
• 8/13=0,613. Un error de 0,004.
• 13/21=0,619. Un error de 0.001.
• 21/34=0,618 (redondeado, como todas las cifras que se están empleando). Sin error apreciable a menos que se usen más decimales.

El caso es que es bastante más cómodo contar que dividir, lo que hace que el uso de la serie de Fibonacci en música sea bastante práctico. Además refleja la propiedad de la que hablé antes de que para duraciones breves se aproxima a la mitad y para largas a la sección áurea.

Esta propiedad, dicho sea de paso, de aproximarse a la sección áurea la comparten todas las series cuya ley de formación sea que cada número es resultado de la suma de los dos anteriores, como por ejemplo la serie de Lukas:

1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76…

Dentro de muy pocos artículos veremos usos musicales de la serie de Fibonacci.

Y, si mis previsiones no fallan, nos hace falta tan sólo un artículo más sobre simetría antes de poder afrontar Bartók.

Enviado por Carl Philip con fecha: Noviembre 1, 2004 12:00 AM

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