El weblog de Potsdam 1747

Marzo 12, 2005

Índice de "Música y matemáticas"

Índice de los artículos de esta serie. Otros artículos que relacionan música y matemáticas se integran en series distintas.

• Música y matemáticas 1
• Música y matemáticas 2a
• Música y matemáticas 2b
• Bach en acción. Música y matemáticas 2c
• Música y matemáticas 2d

Posted by Carl Philip at 04:30 PM | Comments (3) | TrackBack

Febrero 18, 2005

Simbología musical de Takemitsu (y 5b)

Esta fotografía de Duchamp, realizada por Man Ray fue la causa de la obra en que hoy nos vamos a centrar: A Flock Descends into the Pentagonal Garden. Por cierto que en el curso de Valencia no dio tiempo a hablar de ella, de modo que los lectores de mi bitácora quedan en ventaja.

La noche después de que Takemitsu viera esta fotografía en el centro Pompidou de París, tuvo un sueño: un jardín pentagonal. Incontables pájaros blancos volaban en él, guiados por una pájatro negro.

Movido por el sueño, Toru decide explotar el número cinco (lados del pentágono). Ello le lleva a pensar en la escala pentáfona, que tiene cinco sonidos, y que se produce, por ejemplo, en las teclas negras del piano, relacionándose así con el color del pájaro guía. De esas notas selecciona fa sostenido, que en alemán se pronuncia fis. El sonido de fis, a su vez, se pronuncia similar al inglés fix (en este contexto, fijar). Decide, por ese juego de palabras, usar fa sostenido como una nota pedal (algo así como una nota fija).

La interválica de la escala pentáfona, medida en semitonos, es [2, 3, 2, 2, 3]. Takemitsu decide formar con ella un cuadrado mágico, a partir del que genera una serie de acorddes, a cada uno de los cuales asocia a su vez otra escala pentáfona, consiguiendo así los campos armónicos y dominios de los que extrae su música.

Hemos visto con esto un ejemplo de cómo los números ayudan a Takemitsu a encauzar la vaguedad del sueño hasta alcanzar un sistema bastante riguroso.

Un último símbolo asociado que queda por ver es el del agua. Como el sueño, el agua no tiene forma, salvo la que le proporcione la vasija que la contenga. En este sentido, refleja mucho la actitud del autor de exploración en el continuo del sonido, buscando ponerle márgenes que expresen su propia identidad.

De particular significado para Takemitsu parece haber sido el símbolo del árbol de lluvia, sacado de un relato del premio Nobel Kenzaburo Oe. Éste árbol parece tener las hojas extremadamente pequeñas, de forma que las gotas de lluvia quedan atrapadas entre ellas, por lo que incluso bastante después de que la lluvia cese, en el espacio interior de la árbol sigue cayendo agua. Takemitsu dedica no menos de tres obras a este árbol.

Queda así presentado el rico mundo simbólico del autor, y es quizá posible gracias a él notar como los pensamientos extramusicales pueden encender la imaginación de un autor.

En otro orden de cosas, este es el artículo 158 de este weblog, número, como algunos sabrán, de particular importancia en este espacio. 158 millones de gracias a todos por leerme.

Posted by Carl Philip at 05:04 PM | Comments (13) | TrackBack

Enero 21, 2005

Simbología musical de Takemitsu (5a)

El mito australiano del Tiempo del Sueño. El Sueño y el Número en Takemitsu.

El Tiempo del Sueño

Los nativos australianos tienen un sorprendente mito: el del Tiempo del Sueño —también conocido como Alcheringa—. Correspondería a un periodo previo a la creación, en que los diversos dioses y espíritus enseñaron a humanos, animales y criaturas inanimadas cuáles deberían ser sus hábitos y comportamientos. Lo más sorprendente del mito es la idea de que ese tiempo no ha acabado, sino que de alguna forma transcurre en paralelo con nuestra existencia actual.

Muchas y hermosas leyendas transcurren en el Tiempo del Sueño. Aquí tenéis algunas (en inglés, lo siento).

Los aborígenes australianos también creen que cualquier objeto tocado por los espíritus muestra una traza residual de ese contacto. A esa traza se refieren como el Sueño. En la práctica, el Sueño puede acabar siendo toda la filosofía e ideología de una persona, animal o cosa.

Takemitsu, encantado por la idea, escribió una obra con el título de Dreamtime.

El sueño y el número

El mundo simbólico de Takemitsu, su espacio mítico, está pletórico de dualidades; oriente y occidente, los árboles y la hierba, sonido y silencio. La manera del compositor de confrontarlas no es elegir entre una y otra. Tampoco establecer una síntesis. Por el contrario las hace interactuar en formas complejas buscando un espacio diferente al de la dicotomía.

Una de estas dualidades es la establecida entre Sueño y Número. El Sueño vendría a equivaler a lo informe —muy adecuadamente representado por el mito del Tiempo del Sueño, aunque Toru-san ya empleaba este simbolismo antes de conocer el mito—. El Número representaría lo definido, la creación de la forma. Los números serían los puntos cardinales de la brújula con la que el compositor navegaba el sueño.

Las utilizaciones de números elegidas para tal fin pueden relacionarse con los cabalismos más sencillos (se habló de cabalismo en música en esta bitácora aquí y aquí), tales como en Quatrain, donde el número 4 gobierna todo: cuatro instrumentos, frases de cuatro compases, intervalos de cuarta…, sin contar con que Takemitsu asocia además las cuatro estaciones, la rosa de los vientos y los cuadrados. Del mismo modo, en Orion and Pleiades, el tres representa las tres estrellas del cinturón de Orion, y el siete, la cantidad de estrellas en las Pléyades.

En otras ocasiones, la utilización será mucho más compleja. Quizá el caso más paradigmático sea el de la obra A Flock Descends into the Pentagonal Garden, que contaré brevemente en la próxima entrega y sobre la que prometo un futuro artículo con ejemplos musicales. Para que vayan abriendo boca:

El retrato de arriba es el primero de los tres del Tríptico Takemitsu, de Pierre Delvincourt. es un artista representado por Connectworks, que permite el uso de la imagen mientras se les reconozcan todos los derechos. Reconocidos quedan. El artista se basó fuertemente en la obra de la que hablamos para su grabado.

Posted by Carl Philip at 05:14 PM | Comments (7)

Diciembre 18, 2004

Polirritmia

Donde el esforzado lector podrá encontrar datos sobre este concepto, que han de serle de mucha ayuda para entender, entre otras cosas, el próximo artículo de la serie sobre Bartók. No es menos cierto que, aunque el texto no se mete aún en graves honduras, el amable visitante será informado de qué cosa es un ritmo divisivo como paso previo a la definición del tema del artículo.

Advertencias previas

1. En este artículo estoy intentando que no sean precisos ejemplos visuales. Será de agradecer si comentáis si los habéis echado de menos.
2. Lo que voy a contar es lo más elemental sobre la polirritmia, espero en un futuro añadir bastantes artículos al respecto —más que nada porque por ahí anda Ligeti llamando con voz potente, diciendo que cuando escribo sobre él—, así como sobre utilizaciones inusuales del ritmo.
3. Este artículo sirve de preparación al siguiente en la serie sobre Bartók, que tratará sobre la pieza 138, Música de gaita. Está separado de la serie simplemente porque habrá necesidad de hablar de polirritmias en más ocasiones que no se refieran a Bartók.

Ritmos divisivos

Clasificamos los tipos de ritmo en divisivos, aditivos y de contorno. Para los propósitos de este artículo, es muy necesaria la comprensión de lo que es un ritmo divisivo.

Básicamente, se trata de dividir el tiempo en duraciones iguales, creando estructuras en que hay una expectativa de acentuación cada cierto espacio. Esta acentuación va a ser, prácticamente siempre, regular.

Probad, por ejemplo, a recitar el pareado anterior acentuando fuertemente las sílabas con tilde. Lo más probable, ya que estamos inmersos en una cultura occidentalizada rítmicamente, es que hayáis conseguido un ritmo divisivo. Para comprobarlo, mirad a ver si vuestro recitado admite un acompañamiento de palmas.

También este fragmento del Romance del Enamorado y la Muerte tiene un ritmo poderoso, si queréis hacer más pruebas.

Una vez lograda esta división regular del tiempo, cada una de estas divisiones puede ser a su vez subdividida, creando de nuevo estructuras regulares de acentos de menor nivel.

En la música occidental, estas divisiones son, prácticamente sin excepción, en dos o tres partes (las llamamos divisiones y subdivisiones binarias y ternarias).

Aquí tenéis un ejemplo de ritmo de división binaria, y aquí uno de subdivisión ternaria. Escuchadlos, si os parece, varias veces, y notad como, efectivamente, el oído es capaz de predecir con facilidad dónde va a caer el siguiente acento.

Los ritmos divisivos son, en general, característicos de las culturas que bailan y guerrean: la regularidad del acento es necesaria para coordinar los pasos de baile o los de una marcha. Las culturas que cantan y recitan tienden más a los ritmos aditivos y de contorno.

Polirritmia

Hablamos de polirritmia, normalmente, como de la superposición de dos ritmos distintos. Más preciso sería decir que se trata de la superposición de dos o más sistemas de acentuaciones diferentes.

Aquí, por ejemplo, tenéis superpuestos un sistema de subdivisión binaria y uno de ternaria.

Vamos a intentar añadir el factor melódico, para que resulte más sencillo. Podéis aquí escuchar Frère Jaques, transformado para que tenga un ritmo de subdivisión ternaria. Superpuesto a su original, que es de subdivisión binaria, suena así.

Se puede notar como la impresión es casi de dos líneas temporales diferentes. El efecto puede llegar a ser asombroso, casi como de estar en dos lugares a la vez, en manos de un compositor que quiera alcanzar ese efecto.

Como último ejemplo, podéis escuchar la superposición de tres ritmos diferentes. Si el efecto os resulta ligeramente paralelo al de la música popular africana, es por alguna razón —¿la adivináis?—. En todo caso, es muy similar en comportamiento a lo que ocurre en la Música de gaita de Bartók, que pronto veremos.

Algunas precisiones

Lo que hemos visto es lo más elemental de la polirritmia. Debe decirse que, por ejemplo, ni los músicos antiguos ni los actuales se limitan a acentuar en términos de doses y treses. También que es posible, con otros medios, crear la sensación de polirritmia con una única línea melódica. Y por último que la extensión de la idea nos llevaría al concepto de politemporalidad. Pero ya habrá tiempo para que hablemos de ello en otros artículos que versen sobre otras obras.

Posted by Carl Philip at 05:25 PM | Comments (16)

Diciembre 11, 2004

Bartók: una introducción (2yc)

Declaración sobre el uso de ejemplos. Análisis de la Broma campesina. Una pregunta sobre el formato de estos artículos. Actualización del 15 -XII-2004

Declaración de uso de ejemplos

El autor de este artículo, ante el vacío legal, informaciones contradictorias y falta en general de conocimiento por parte de la ley del manejo de Internet, declara:

1. Que va a usar extractos de obras recientes, entendiendo que está protegido por el uso pedagógico legítimo, tanto más cuanto que no hay el más mínimo propósito de lucro, como puede comprobarse estudiando esta Web.
2. Que en ningún caso va a hacer públicas partituras completas de obra alguna, con lo que, si acaso, está fomentando la compra de las partituras.
3. Que los ejemplos serán siempre copiados por el autor, nunca escaneados o fotografiados.
4. Que está dispuesto a retirar los ejemplos en el mismo momento en que una fuente que identifique su fiabilidad le informe, vía e-mail o por carta, de que considera ilegítimo el uso estos ejemplos.
5. Que esta declaración es extensiva a todo el resto de esta Web.

Os pido disculpas por comenzar así un post, pero no podía soportar la idea de que no hubiera ejemplos en los futuros artículos.

Análisis de la Broma campesina

Por si se os ha olvidado, la Broma campesina suena así.

La pieza está basada en un uso muy inteligente del modo superlidio. A este modo le aplica dos inflexiones (se definieron en este artículo): una inflexión de quinta descendente, análoga a la relación dominante-tónica, y una de tercera menor descendente —intervalo inflexivo que, posiblemente por su relación con las escalas pentáfonas, Bartók emplea con la mayor asiduidad—. Aquí tenéis un mínimo ejemplo de cómo suena un superlidio al que se aplica esta inflexión.

El uso de esta inflexión provoca la aparición de un MI bemol, dentro de una escala que no lo tiene incorporado (DO- RE- MI- FA#- SOL- LA- SI bemol). Como ya se dijo en otro artículo, este tipo de empleo de notas no incorporadas a un modo como inflexiones les da una extraordinaria fuerza.

Comienzo

Uno de mis profesores me explicó una vez que para analizar la música dos de las preguntas más importantes que uno puede hacerse son:

• ¿Dónde termina el comienzo?
• ¿Dónde comienza el final?

La obra comienza con un despliegue casi completo del modo superlidio, de forma escalística sumamente enérgica —por cierto que con un tipo de perfil que volveremos a encontrar, sobre el mismo modo, en la extraordinaria Sonata para dos pianos y percusión—. Esto ocupa el primer compás. En el segundo, la voz del bajo asume la inflexión de quinta descendente, planteando un SOL que caerá en DO en el compás siguiente. La voz superior asume la inflexión de tercera menor, con la aparición de MI bemol, que también caerá en DO en el mismo punto.

Inmediatamente después, en un proceso claramente recursivo (se habló de recursividad en música aquí y aquí), replantea todo el material una quinta por encima, en el nivel SOL (es decir, sobre una de las dos inflexiones que ha elegido para el modo). Esto nos plantea dos inflexiones secundarias (RE hacia SOL, SI bemol hacia SOL), que acaban dando un gran poder resolutorio al SOL.

Existe una ligera discrepancia en la repetición a la quinta alta: el comienzo que debería haber sido RE, SOL, se cambia por DO, SOL. Es perfectamente explicable por el deseo de que no se pierda la sensación de centro tonal DO, además de corresponder a la perfección con el mecanismo de mutaciones de las fugas —de las que podríamos hablar algún día—.

Llegados a este punto, Bartók ha indicado a nuestros oídos cuáles son las reglas del juego. El comienzo ha terminado, dejándonos con una sensación claramente no conclusiva: necesitamos una resolución contundente, y se nos va a proporcionar en forma inmediata.

Expansión, crecimiento

Me resulta personalmente muy sospechoso el término desarrollo cuando hablamos de música no tonal. Siglos de imperio de la forma sonata han hecho que no entendamos fácilmente que hay otros tipos de desarrollo —incluso, por cierto, en la propia sonata—. En su lugar, emplearé expansión o crecimiento.

Aquí el autor replantea el modo superlidio sobre un nivel FA, por razones que consideraremos dentro de un momento. Antes necesitamos hablar durante unos minutos de algunas consideraciones melódicas de las notas inflexivas.

Puesto que las inflexiones ajenas a un modo van, naturalmente, a crear interválicas que no están, en general, presentes en el mismo, es en ocasiones necesario modificar algunas notas del mismo, para evitar sonoridades indeseadas.

Aunque los motivos son algo distintos, aquí tenéis un ejemplo absolutamente característico de ello en música de tipo andalucista. escuchad con atención las cinco últimas notas y sabréis a qué me refiero.

En el ejemplo de Bartók, el LA bemol corchea es la nota inflexiva hacia FA. El SOL bemol situado entre ambos es la nota que ha querido modificar. A partir del FA plantea una desinencia con SOL y LA naturales que cumple un doble propósito:

1. Deja claro cuál es el modo con que estamos trabajando.
2. Aumenta la cantidad de cromatismo en un momento de crecimiento, lo que, naturalmente, es muy favorable.

Actualización: olvidé añadir que el cuarto grado, si, se convierte en si bemol por la misma razón que la y sol se vuelven bemoles. Otra posible explicación, basada en cambios de modo la proporciona Daniel Roca en un comentario que podéis leer abajo. Fin de actualización

Va a repetir este giro tres veces, respectivamente en los niveles FA, SI bemol y MI bemol.

No debemos olvidar que MI bemol es la nota inflexiva que Bartók ha creado para caer en DO. Ello explica por qué el comienzo del proceso se da en FA. Desde FA caemos a SI bemol (inflexión de quinta descendente), desde allí a MI bemol (misma inflexión), y desde allí se unen la inflexión MI bemol->DO y SOL->DO para propiciar una fenomenal resolución en el centro tonal de la obra (DO). El proceso es similar al de tomar "carrerilla" para dar un gran salto, lo que Bartók alcanza con pasmosa facilidad y belleza. Aquí hemos alcanzado uno de los puntos estructurales de la obra de mayor importancia, y, como hemos visto, gracias a un uso recursivo del mecanismo de inflexión.

El resto

No es que no hay cosas de gran interés en el resto de la obra: es que no las necesitamos por el momento. En cualquier caso, lo que hay es una repetición de la misma estructura comienzo/crecimiento, donde en esta ocasión canta el bajo, acompañado por una idea francamente percusiva. Para quién disponga de la partitura, puede ser de interés ver como el mecanismo inflexivo se hace armónico en los compases 17 y 20. Por último, una nueva repetición del mecanismo de crecimiento, nuevamente en la voz superior, octava alta de la primera vez, nos conduce a un convincentísimo final.

Sobre el resto de la serie

Por lo que preveo, no va a ser necesario en el futuro hacer una subserie tan larga como esta, siempre y cuando lo aquí contado haya resultado de claridad suficiente (de no ser así, abajo podéis hacer las preguntas pertinentes).

Una pregunta independiente

En estos artículo estoy poniendo los archivos midi de forma que se abran en ventana independiente, de forma que no haya que interrumpir la lectura si no se desea. Los vínculos a otros artículos, en cambio, los pongo de forma que se abran en la misma ventana, en la suposición de que no váis a leer dos artículos a la vez. ¿Resulta suficientemente práctico o preferiríais otra cosa?

Posted by Carl Philip at 03:58 PM | Comments (14)

Noviembre 25, 2004

Bartók: una introducción (1)

Prólogo.

Comenzamos a hablar de Bartók destacando, como se ve, su ingenuidad. Es bueno recordar que la etimología de ingenuo la relaciona con ingenio. Si en inglés, por ejemplo, se acusa a alguien de ingenuity, no se le está calificando de tontorrón, sino de ingenioso, con el tipo de talento que es capaz de ver soluciones brillantemente simples a problemas complejos, de ser rápidamente inventivo, hábil en la combinación (Webster dixit). Es en este sentido que me atrevo a calificar así a nuestro protagonista.

¿Hablaré de los apuros de Bartók al introducirse secretamente en un harem para intentar recoger la música que cantaban las mujeres?, ¿de que murió pesando treinta y nueve kilos y medio?, ¿de su afición a la entomología?, ¿de su amor por las músicas del mundo?, ¿de las piñas sobre el escritorio? Tienta, realmente tienta. Sin embargo sospecho que él hubiera preferido ser retratado por su música y respetaré esta idea.

Influencias

Las dos influencias que con mayor claridad pesan sobre su obra son la de Wagner y la de la música popular. Hoy, que tanto escuchamos hablar de fusión, la entendemos por mezcla de estilos. Para Bartók, como para la mayoría de los compositores de talento, la fusión de influencias no es eso, sino que de una y otra semillas nace un estilo nuevo, que se nutre de ambas fuentes. En el caso de nuestro autor resulta singularmente fluido el estilo creado, que puede, con facilidad y naturalidad, moverse de uno a otro extremo sin que se perciba fisura alguna.

Por su interés en la música popular algún musicólogo declara nacionalista al compositor. Aparte de que algunos peros pondría al concepto de nacionalismo en música, creo que en el caso que nos ocupa el argumento es insostenible: tanto estudió la música propia como las ajenas, sin desdeñar las árabes y africanas.

Más sobre la influencia de la música popular

Cuando los compositores aceptan la influencia de música popular en su obra, lo hacen, habitualmente de una de tres formas, progresivamente más complejas y satisfactorias:

1. Introduciendo alguna melodía popular en sus obras, pero tratándola con técnica y armonía tradicionales.
2. Interiorizando tanto lo popular cómo para ser capaces de falsificar el folcklore. Naturalmente, ello no excluye la cita ocasional.
3. Dando tanta importancia a lo popular como a la formación tradicional, hasta el punto que surge un nuevo estilo, no tanto una síntesis de ambos como algo esencialmente nuevo, en el mismo sentido que un niño no es una síntesis de sus padres, aunque tenga parecidos.

De más está decir que este último es el camino de Bartók.

Nuevos lenguajes

Lo expresado en el punto anterior requiere, para su óptima realización que el compositor esté dispuesto a cambiar el lenguaje, e, incluso, a crear uno nuevo. Por poner un ejemplo, las típicas cadenciaciones andaluza (semitono descendente) o pentáfona (tercera menor descendente), son incompatibles con la tonal (semitono ascendente, quinta descendente). La simple inclusión de estas cadenciaciones resulta insuficiente, en vista de que, como veremos, la cadencia es uno de los fenómenos que más influyen en forma recursiva en la meso y macroestructura de la música, con lo que la adición de elementos nuevos tiene consecuencias necesarias sobre la forma musical.

Mucho se ha criticado a autores del siglo XX por romper con la tradición. Pocas veces se ha tenido en cuenta que no es una elección del compositor, sino, como ejemplifico en el párrafo anterior, una necesidad.

En todo caso, dentro de que me propongo que el nivel de los próximos artículos no sea muy técnico, espero demostraros que la música de Bartók desciende de padres dignos.

Números

Veremos como los números son importantes en algunas de las técnicas de Bartók. Ante el rechazo que esto suele provocar, reitero lo dicho ya unas cuantas veces en este weblog: ni los números muerden ni es malo nada que le de ideas a un compositor.

Sobre la serie que aquí comienza

Va a ser, seguramente, larga, por lo que iré alternando artículos de otras temáticas. Además, como hará falta explicación de varios conceptos de música reciente, muchos se explicarán en artículos fuera de la serie. Para evitar confusiones, el último artículo contendrá un índice.

Habrá pocos ejemplos reales, y aún estos, alicortados para no vulnerar legislación alguna. En algunos casos yo mismo fabricaré un ejemplo de la técnica que sea necesaria, sin pretensiones de imitar el estilo de Bartók o de hacer gran música —¡cuando intento eso lo hago en mi propio estilo!—, sino de clarificar el concepto.

Voy a intentar que prácticamente todo lo que haya que escuchar —quien desee hacerlo— del autor, esté contenido en Música para cuerdas, percusión y celesta y el Mikrokosmos. Puede ser buen momento de conseguir grabaciones y partituras.

Posted by Carl Philip at 06:29 PM | Comments (10)

Noviembre 01, 2004

Proporción (y 2)

Breves resúmenes sobre proporción, sección áurea y números de Fibonacci.

En el artículo anterior definíamos proporción, y especulábamos sobre los mejores puntos en que situar las articulaciones formales de la obra.

Sitios en que la articulación es frecuente

El estudio de ejemplos musicales, revela que los ejemplos breves tienden a tener su articulación en la mitad de la obra. Así ocurre en este ejemplo de Mozart, que ya vimos con anterioridad.

Cuanto más extensas sean las obras, o fragmentos formales, más corriente se hace que estos puntos relevantes tiendan a situarse alrededor del 60 ó 65% de la duración de la obra. Es evidente que una vez que se alcanzan los momentos de máximo interés, extenderse demasiado más tiempo resultaría monótono. Observemos este ejemplo, también ya analizado, de Bach.

En él podemos observar que el punto de máxima tensión ocurre en la caída en el compás 15, lo que representa el 63,6% de la duración de la obra. Es también comentable que entre la articulación menor que se da en la caída del compás 7 y la del 15 ocurre el 57,1% de la extensión hasta ese momento. (Consejo: quién lo necesite que relea el artículo sobre recursividad, en próximos artículos va a ir siendo progresivamente más necesario).

La sección áurea

Existe un concepto sobre la proporción llamado sección áurea. Viene a darse cuando la proporción entre una parte y el todo es idéntica a la relación entre el resto y la parte. Como definición, puede mejorarse, y aquí tenéis una lista de sitios donde lo hacen:

1. En forma más bien geométrica. Hay referencias a Fibonacci y al arte.
2. De forma mas aritmética. También hay referencias a Fibonacci, y algún gráfico muy útil.
3. Del rincón del vago (sí, queridos alumnos, los profesores sabemos de la existencia del rincón del vago, ojito con copiarlo ^—^).
4. Imágenes interesantes.
5. Estudios gráficos sobre su relación con la pintura.

Quizá hayáis observado que en algunas de las páginas dan el valor de la sección áurea como 0, 618… y en otras como 1,618…. Son recíprocos (o sea, 1 partido por 0.618 da 1,618 y viceversa). Es decir, el primero expresa la proporción entre el todo y la parte y el segundo entre la parte y el todo. Para nuestros propósitos va a ser, en general, más conveniente considerar que la duración de una obra equivale a uno, así que emplearemos 0,618 como valor de la sección áurea.

Efectivamente, la proporción áurea se da con cierta frecuencia en música, al menos en el sentido de que los puntos de articulación de muchas obras tienden a aproximarse a ella. De la misma forma que los puntos importantes de los diverso niveles mesoformales. Es importante darse cuenta de que en la mayor parte de la historia, condicionantes tales como el compás hacen imposible que la proporción áurea se produzca con exactitud. Aproximaciones como las que hemos visto en la obra de Bach, o más precisas, son corrientes (en los casos en que se produce, cuanto más larga sea la obra, tanto mayor puede ser la precisión). Algún caso veremos, si ustedes quieren.

Mis opiniones sobre la sección áurea en música

1. Las aproximaciones a la sección áurea en música se dan con suficiente frecuencia como para poder descartar que sea un fenómeno casual. Eso no presupone en ningún caso que el autor deba haber tenido conocimiento de la existencia de ese fenómeno. Si de alguna forma esa es una relación especialmente agradable al ser humano, se debe poder llegar a ella mediante procedimientos intuitivos o prácticos (o místicos, para quién siga creyendo que las musas llaman al móvil del compositor), que serán tan válidos y no más ni menos, como un procedimiento especulativo.
2. Hay que destacar que, en mi experiencia, la sección áurea aparece con mucha mayor probabilidad en las músicas que tienen un carácter narrativo, tal y como se define el término aquí, en el apartado Lo narrativo como estructura dramática y que busquen el tiempo dialéctico. Muchas otras músicas existen de espléndido funcionamiento donde no se detecta esta proporción, de forma que no debe considerarse una ley universal. También hay que considerar que la proporción puede aparecer en niveles mesoformales y no macroformales, o al contrario. Esto va a resultar tanto más cierto en obras de gran longitud, como óperas, donde la retentiva humana sería incapaz de distinguir esa proporción.
3. Especular sobre posibles repercusiones sobrenaturales de todo ello no añade nada a nuestro conocimiento de la obra. Incluso es cuestionable la especulación sobre que responda a un sentido de la proporción natural de los cuerpos humanos, en la medida en que el oído es un sentido distinto de la vista.
4. Destaco que uso siempre la expresión aproximación a la proporción áurea. Buscar la precisión absoluta conduce en demasiadas ocasiones a tener que falsear resultados, cosa que me parece inaceptable.
5. El conjunto de todo lo anterior me lleva a conjeturar que, en una posible teoría musical futura haya un subgrupo de tipos formales que, por alguna razón, tiendan a provocar la aparición de esta relación. Alguna especulación al respecto haré hablando de Bartók.

Los números de Fibonacci y la sección áurea

En este artículo presenté informalmente la serie de Fibonacci —dicho sea de paso, de otra fuente me llega que los animales implicados no eran gallinas sino conejos, pero en mis libros de referencia (que tampoco son muy fiables) siguen siendo gallinas, así que, sin acceso al texto original, no me veo en la necesidad de cambiar lo que escribí—En los artículos que vinculé más arriba podéis haber encontrado informaciones más formales sobre ella.

Bueno será en todo caso recordar que es una serie de números en que cada uno es la suma de los dos anteriores. Sus dos primeros miembros (al menos los dos primeros miembros relevantes para su uso en música) son 1 y 2, de forma que la serie sería:

1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144…

Serie, por cierto, tan útil que a muchos nos sirvió para una aproximación rápida a la conversión entre pesetas y euros.

Esta serie presenta una propiedad que la emparenta con la proporción áurea. Si dividimos cada miembro de la misma por el siguiente, vamos encontrando cifras que cada vez se acercan más a ella.

• 1/2= 0,5. Un error de 0, 118.
• 2/3=0,666, un error de 0, 048
• 3/5=0,6. Un error de 0, 018
• 5/8=0,625. Un error de 0,007
• 8/13=0,613. Un error de 0,004.
• 13/21=0,619. Un error de 0.001.
• 21/34=0,618 (redondeado, como todas las cifras que se están empleando). Sin error apreciable a menos que se usen más decimales.

El caso es que es bastante más cómodo contar que dividir, lo que hace que el uso de la serie de Fibonacci en música sea bastante práctico. Además refleja la propiedad de la que hablé antes de que para duraciones breves se aproxima a la mitad y para largas a la sección áurea.

Esta propiedad, dicho sea de paso, de aproximarse a la sección áurea la comparten todas las series cuya ley de formación sea que cada número es resultado de la suma de los dos anteriores, como por ejemplo la serie de Lukas:

1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76…

Dentro de muy pocos artículos veremos usos musicales de la serie de Fibonacci.

Y, si mis previsiones no fallan, nos hace falta tan sólo un artículo más sobre simetría antes de poder afrontar Bartók.

Posted by Carl Philip at 12:00 AM | Comments (11)

Octubre 29, 2004

Azar y música

Presentación. El juego de los dados musicales de Mozart.

En breve, necesitaremos estar familiarizados con el concepto de lo aleatorio en música, es decir, con la introducción del azar dentro de una obra, bien sea durante el proceso de composición, bien durante el de interpretación. Quién quiera ver una breve definición de este proceso en esta misma web, que pulse aquì.

Se puede argumentar que cualquier música es, en alguna medida aleatoria. Las pequeñas imprecisiones que inevitablemente ocurrirán en la interpretación, los términos no definidos de manera precisa —tempos, dinámicas, etc…—, sumados a las condiciones de la sala, el sonido específico de cada instrumento concreto, etc…, hacen que cada vez que una obra suena contenga pequeñas novedades no previstas por el compositor. Naturalmente, la introducción de elementos como ritardandos, accelerandos, crescendos, decrescendos, ad libitums, cadencias escritas, o improvisadas —que era la costumbre antigua—, aumentará, de manera a veces más que notable, el nivel de azar en la obra.

Asumir que el azar sea parte del proceso compositivo puede tener resultados inmensamente atractivos. Obras que estén suficientemente bien concebidas pueden admitir cantidades ingentes de posibles interpretaciones, haciendo más atractivo el ir a una sala de conciertos que la fría perfección de la grabación.

Sobre las consecuencias estéticas de ello se hablará, con alguna extensión, en la serie sobre Xenakis.

Entre los más antiguos ejemplos que conservamos de música que hace uso consciente del azar, tenemos obras de Johann Philip Kirnberger, amado discípulo de Bach, de Carl Philipp Emmanuel Bach y de Mozart. Vamos a centrarnos en este último.

Nos encontramos en una época en que comienza a intentar entenderse el mundo. Gentes como Descartes, Leibnitz, y, de manera más o menos involuntaria, Newton, comienzan a sustituir la alquimia por la ciencia. Este espíritu se expande a todos los campos que, poco a poco, van intentando con mejor o peor metodología a buscar su fundamento en lo verificable.

En el campo artístico, empieza a especularse con que haya leyes definidas, con un componente matematizable. Se hace de forma terriblemente ingenua, pero es el comienzo.

En este contexto, aparece El juego de los dados musicales, K516f , de Mozart. Aunque algunos musicólogos consideran que la atribución es errónea, nunca he encontrado alguno que se basase en otra cosa que su antipatía hacia los procedimientos numéricos.

El juego consiste en lo siguiente: para hacer un minueto, Mozart escribió 176 compases, numerados de uno en uno. Escribió también unas tablas, en dieciseis columnas de once números cada una. Ahora, con dos dados se hace una tirada. Según el número que salga (de 2 a 12), se escoge el número correspondiente en la tabla. Cuando lo tengamos, se escoge el compás así numerado y se copia. En la siguiente tirada se hace lo mismo con la segunda columna, y así sucesivamente hasta agotar todas. Cuando acabemos, el resultado será un encantador minueto, siempre diferente, siempre efectivo.

La cosa parece poco asombrosa hasta que uno hace números. En la primera tirada, hay once posibilidades, en la segunda 11*11, en la tercera, 11*11*11. Es decir, el total de minuetos que se dan en el juego, es de 11¹⁶. Para sustituirlo por un número con más sentido, eso hace 7.182.988,48 minuetos por cada persona viva en la tierra (6.397.021.230, esta mañana). O, si lo preferís, asumiendo que cada minueto durase medio segundo (en realidad es algo más de medio minuto), se tardaría 7.285.281.878,4 años en oír todos. Tenemos música para rato.

Mozart practica también el juego con contradanzas, con unas tablas similares, si esto os parece poca obra.

El mecanismo compositivo es hasta fácil, si a alguien le interesa. Entretanto, aquí tenéis una implementación en Internet del juego (hay muchas más). Ésta está bien porque tiene partitura, y se puede hacer click en cada compás para cambiarlo. Lo malo es que, por defecto, sólo hace sonar una voz. Eso sí, es muy personalizable la interpretación.

Bueno, como parece que últimamente andamos todos juguetones, un par de preguntas (como son especializadas, esta vez no hay premio).

1. ¿Son todos los minuetos del juego igual de probables si se juega con dados?
2. ¿Hay forma de que lo sean jugando con dados?

Naturalmente, hay que explicar por qué.

La música de Mozart os acompañe,

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Octubre 22, 2004

Recursividad

Explicación, ejemplos y primera presentación de hipótesis sobre su aplicación en música.

Definámonos

Una posible explicación del término "recursividad" sería decir que es el comportamiento que presentan los procesos u objetos que poseen recursividad. Definición y ejemplo por el mismo precio. Lástima que no explique nada.

Sería igualmente posible decir si algo presenta marcadas semejanzas en todos o al menos en muchos de sus niveles estructurales, tiene un comportamiento recursivo. Lo malo de esta definición es que es más bien críptica.

Leo en Internet: "podemos definir la recursividad como un proceso que se define en términos de sí mismo." Un poco circular también, en mi opinión.

No va a quedar más remedio que definir mediante ejemplos, aunque sea inelegante.

¿Dejan los árboles ver el bosque?

Pensemos en un árbol. Una forma de definir su estructura sería decir que del tronco salen ramotas. De cada ramota crecen ramas. De cada rama, ramitas; de las ramitas, ramititas; de las ramititas, ramitititas, de ellas ramititititas… …de las ramiti(…)titas, hojas, que tienen nervios, de los que se bifurcan nerviecillos, de los que a su vez emanan nerviecicillos, de los que surgen nerviecicicillos, de los que brotan nerviecicicicillos… (Nota: por mor de la claridad hay alguna imprecisión en lo expuesto, que se corrige más abajo.)

Es decir, que miremos el árbol de lejos, de cerca, o la hoja con microscopio, notaremos una estructura —llamada, con mucha originalidad, "arborescente"— similar. Éste es un comportamiento recursivo, según veíamos en la segunda definición.

Aquí tenéis una foto, cedida amablemente por Klapaucius, que ilustra lo que acabo de contar. En ella se distingue perfectamente la estructura arborescente, si queréis fijaros en ella.

"He llegado a saber, ¡oh rey dichoso…"

Estructuras de un tipo similar las podemos encontrar en muchos otros ámbitos. Aquí tenéis un ejemplo "literario".

Lo mejor que se puede decir de él, es que es claro. Cada iteración del comienzo provoca una nueva repetición, que provoca… Jamás llegaríamos a su parte central, a menos que interrumpiésemos arbitrariamente el proceso, a partir del cual comenzaría otra sucesión potencialmente infinita.

Otros ejemplos claros los encontramos en ciertos acrónimos, por ejemplo el de GNU, que se traduce por GNU's Not Unix, que se traduciría a su vez por GNU's Not Unix's Not Unix…

En Las mil y una noches la reina Scherezade cuenta al rey Shariar frecuentes historias en que un personaje comienza a contar una historia, en que un personaje empieza a contar una historia… En un caso, incluso una de las historias dentro de historias es muy semejante a la de la propia Scherezade, lo que nos daría una completa circularidad.

Circularidad que es poseída por los libros o películas, nada infrecuentes en que su final es idéntico al principio, invitando a recomenzar la obra recursivamente.

En este soneto y el siguiente se da autoreferencia y casi recursividad al aludir continuamente a la propia estructura.

Dicho sea de paso, gran paciencia debió gastar esta buena Inés, para consentir que en otro poema don Baltasar no se decidiera a elegir entre ella, el jamón y las berenjenas con queso.

Y en música, tenemos miles de casos en que la letra de una canción alude a sí misma: "Voy a cantar una jota…", etc…

"Recuérdame que te recuerde que me recuerdes…"

Dentro de las estructuras recursivas podríamos distinguir dos tipos. Las que aluden directamente a sí mismas, a las que llamaremos directas. Un ejemplo serían las estructuras arborescentes, que se descomponen en otras estructuras arborescentes.

Otro tipo serían aquellas en que una estructura de determinado tipo se descompone en otra de una especie diferente, que a su vez se descompone en estructuras de la primera clase… A estas las llamaremos indirectas.

El caso más conocido puede ser el de un espejo reflejado en otro. En la foto de arriba podréis verlo, así como al menos tres clases diferentes de recursividad: los espejos que se reflejan, la cámara que se autoretrata, y yo, haciendo lo mismo.

"Todo sucede en los árboles" (Tarzán)

La descripción que he hecho hasta ahora es muy simplista: el nivel jerárquico 1, se compone copias en el nivel 2, que se forma de otras copias en el nivel 3…

Muchas estructuras recursivas son más complejas.

En esta foto podréis apreciar como del tronco no sale una "ramota", como las llamamos anteriormente, sino una estructura de nivel inferior (en tamaño). Del tronco pueden salir desde grandes ramas a hojas. A este fenómeno lo llamaremos confusión de jerarquías.

Sobre este tema, es necesario precisar que no hay una separación definida entre las diversas estructuras jerárquicas. Es decir, no hay, con claridad, una estructura de nivel 1, otra del 2…, sino que, por así decirlo, entre el nivel uno y el dos pueden darse estructuras intermedias, que hacen imposible, en un momento concreto, asegurar en qué nivel estamos analizando, y que causan que un mismo fenómeno pueda ser correctamente situado en dos o más niveles diferentes, por ejercer función en todos ellos. De hecho, y para ser más preciso, en muchas estructuras recursivas carece de sentido clasificar niveles. Un árbol es buen ejemplo: la macroestructura es clara, pero no podemos saber hasta que nivel se van a ramificar los nervios de la hoja, ni el resultado va a ser uniforme para todos los nervios de todas las hojas.

"Lo más incomprensible del mundo es que sea comprensible." (Einstein)

Con estos conceptos aclarados, podemos empezar a pensar en su aplicabilidad a la música, y quizá a otras expresiones.

Por más que sea un tópico decir que la música es un lenguaje universal, las evidencias apuntan a lo contrario. Distintas culturas tienen distintas músicas, y es tarea que requiere dedicación alcanzar el disfrute de manifestaciones ajenas a las que uno aprendió de pequeño.

Muchas músicas emplean, de forma consciente o inconsciente, procedimientos recursivos para lograr su comunicabilidad. El procedimiento básico consiste en que pequeñísimas estructuras, que se repiten a menudo, y quedan por tanto fácilmente instaladas en el oído, son recapituladas recursivamente en niveles formales mayores.

Las ventajas de un procedimiento así, parecen obvias: en el mismo acto de acostumbrar/aculturar al espectador a lo que esté pasando en forma inmediata en la obra, logramos que vaya apreciando los niveles formales superiores. Algo así como si aprendiendo palabras de un lenguaje fuésemos alcanzando conocimientos de su gramática, sin necesidad de estudio independiente.

Mi opinión es que toda música que pretenda alcanzar la comunicabilidad necesita emplear procesos recursivos. Ciertamente, la música tonal lo hace, no de forma casual, sino sistemática, y por aquí irán apareciendo recursiones en obras que todos conocemos y amamos.

Para terminar: es fácil que alguien versado en teorías musicales note que lo que cuento es similar a las hipótesis de Schenker. Efectivamente, sin nombrar la palabra en cuestión, Schenker realiza un análisis recursivo de las estructuras tonales armónicas. Tengo un cierto rechazo a sus teorías por dos razones:

1. Limita su estudio a elementos muy concretos de épocas muy concretas, ceguera que es brillantemente superada y trascendida por el poco conocido Wallace Berry.
2. Vería con agrado que la teoría musical empezase a utilizar el lenguaje compartido por disciplinas científicas. Acabaríamos comprendiendo como sencillas cosas que hoy debemos explicar empleando un lenguaje aparatoso y poco definido.
3. El schenkerianismo ha derivado en un sistema prácticamente sacerdotal, con referencias oscuras que, invariablemente, se remiten a los escritos y referencias de Allen Forte, que en mi modesta opinión admiten críticas y mejoras.

Pásenlo ustedes bien recursivamente.

Posted by Carl Philip at 03:45 PM | Comments (10)

Octubre 20, 2004

Gallinas insatisfechas

El acertijo de Fibonacci.

Hoy tampoco me va a dar tiempo a escribir el artículo sobre recursividad, y es probable que cuando lo haga deba partirlo en dos o más, si quiero explicar lo frecuente que es en música de todas las épocas y culturas. Para compensar, hablemos un poco de la serie de Fibonacci, que pronto estará muy presente por aquí por su relación con la sección áurea y Bártok.

Fibonacci fue un matemático italiano que escribió lo que hoy denominaríamos un libro de pasatiempos matemáticos. La solución a uno de ellos es la llamada serie de Fibonacci —que era conocida desde mucho antes, con otros nombres—.

El acertijo en cuestión es como sigue:

Suponemos que tenemos una gallina adulta. Suponemos que las gallinas tardan más de un año pero menos de dos en alcanzar la fertilidad. Suponemos que de los huevos puestos, los resultados siempre son gallinas, nunca gallos. Y suponemos que, con periodicidad anual uno o varios gallos visitan el corral con intenciones románticas: una cenita de alpiste a la luz de las velas, música, baile, la proximidad de los cuerpos… Y no sigo por si hay niños despiertos. Ah, las gallinas, además, son inmortales.

La pregunta es: ¿cuántas gallinas habrá cada año?

• Año 1. Gallinas=1
• Año 2: la primera gallina habrá tenido descendencia, aún no fértil. Gallinas=2
• Año 3: La primera gallina habrá vuelto a tener una gallinita, aún no fértil, la del año pasado ya lo es, así que los gallos fecundan a las dos. Gallinas=3
• Año 4: 3 gallinas fértiles y fecundadas, dos inmaduras. Gallinas=5
• Año 5: 5 fértiles, 3 inmaduras. Gallinas=8
• Año 6: 8 fértiles, 5 inmaduras. Gallinas=13.
• Y así sucesivamente

Es decir: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144… Cada término es la suma de los dos anteriores.

Esta serie tiene curiosas propiedades de las que ya hablaremos. Ah, y es recursiva, lo que tiene sorprendentes consecuencias musicales.

Posted by Carl Philip at 01:05 PM | Comments (6)

Octubre 18, 2004

¿Qué tienen en común estas imágenes?

Compenso mi falta de previsión con un juego. Advertencia: el artículo completo contiene bastantes imágenes grandes.

Pues el caso es que he intentado dar apoyo visual al artículo que iba a escribir por medio de dibujos. Como el dibujo no es lo mío, he invertido mucho tiempo en intentarlo, para al final tener que resolverlo por medio de fotos. Total, que cuando he tenido el material de apoyo, me he quedado sin tiempo para escribir el contenido.

En su lugar os propongo un juego: descubrir qué tienen en común las imágenes entre sí, o sea, de qué irá el artículo. Ya sé que he puesto dos juegos en muy poco tiempo, pero pensad que en casi seis meses no puse ninguno.

Como he dado reiteradas pistas de la temática de los próximos artículos, para ganar el juego hay que explicar todas las imágenes y cómo se relacionan con el tema, si no sería muy fácil. Premio, ya pensaremos en algo.

Tenéis de tiempo hasta que escriba el artículo, que será el miércoles o viernes.

Primera imagen

Segunda imagen

A esta la he llamado "Autoretrato".

Tercera imagen

Éste es el cuento más largo que jamás he escrito.

Cuarta y quinta imágenes, que están relacionadas

Esta foto está tomada por Klapaucius, que me la ha prestado gentilmente. Notaréis por qué os lo recomiendo como fotógrafo.

Esta última, en cambio, por mí, como es notorio.

Divertíos.

Posted by Carl Philip at 07:06 PM | Comments (27)

Octubre 16, 2004

Simetría e impulso

Primeros contactos con la simetría. Ventajas e inconvenientes compositivos. Un ejemplo de Mozart.

Preámbulo

En las próximas semanas voy a ir escribiendo artículos sueltos que introducirán y discutirán una serie de conceptos, como simetría, proporción y sección áurea, que nos serán esenciales en su momento para poder hablar de Bártok. Una vez que Bártok esté comprendido, estaremos seguramente en condiciones de poder hablar de Xenakis, como he prometido públicamente.

Simetría, equilibrio y proporción

Es bastante acostumbrado cuando se habla de músicas excelentemente construidas comentar su simetría. En general estos comentarios tienden a ponerme un poco nervioso. La simetría es algo muy definido, y las músicas bien construidas, también. Normalmente es preferible hablar de música equilibrada o bien proporcionada, que es lo que realmente se quiere decir.

Vamos a necesitar próximamente disponer de una idea de la simetría un poco más amplia que la convencional. Pero para no mezclar demasiados conceptos en un solo artículo, el de hoy hablará sólo del que todos conocemos.

Frases clásicas cuadradas de ocho compases

Quizá el ejemplo más común de estructura musical considerada "simétrica" es la denominada frase clásica cuadrada de ocho compases. Aunque desde un punto de vista estricto la aplicación de la palabra "simetría" es cuestionable, démosla por buena, por el momento.

La denominación responde a estructuras de ocho compases (16 o incluso 32 para compases breves o tempos rápidos) que típicamente se dividen en dos semifrases de igual duración, que a su vez se componen de dos miembros de semifrase, también de la misma duración.

Frase completa
Primera semifrase		Segunda semifrase
Primer miembro de semifrase	Segundo miembro de semifrase	Primer miembro de semifrase	Segundo miembro de semifrase
A1	A2	B1	B2

Como la nomenclatura convencional es más bien aparatosa, llamaré A1 al primer miembro de la primera semifrase, A2 al segundo, B1 al primer miembro de la segunda semifrase y B2 al segundo. Se entiende más claramente en el esquema de arriba.

En general A1 y B1 son idénticos, o al menos basados en los mismos motivos sometidos a transporte (se definió en este artículo), y tienden a proponer el material más identificativo y claro de la frase. A2 y B2 también suelen estar fuertemente relacionados, y son en general musicalmente más movidos, como corresponde a los periodos de aproximación a la cadencia. Y ya que damos detalles, B2 tiende a ser el más activo de los dos, como resulta lógico.

Se produce así una situación más o menos simétrica, tal como se puede ver en el esquema anterior (A1 se refleja en B1 y A2 en B2).

La razón del éxito de esta estructura es que resulta extremadamente equilibrada. Realizar una de ellas (cosa al alcance de todas las fortunas) y obtener una pequeña obra musical satisfactoria —parte seguramente de una forma más amplia—, es todo uno.

Morir de éxito: necesidad de la asimetría

Este equilibrio es tremendamente útil para proponer materiales con los que luego se quiera trabajar. Lamentablemente, es también una auténtica rémora para impulsar la obra hacia adelante. Plantear la composición de algo de una mínima duración basado en pequeñas frases equilibradas es lo mismo que asegurarse de que no tendrá dinamismo ni alcanzará tensión dramática ni musical (podéis pensar como ejemplo en esos refritos de frases musicales famosas con acompañamiento de batería electrónica).

Lo más normal es aprovechar ese equilibrio para proponer a continuación estructuras asimétricas y desequilibradas, que por la razón de serlo obligarán al oído a esperar satisfacción más adelante.

Veamos un ejemplo: las variaciones que constituyen el primer movimiento de la K331 de Mozart —escojo este compositor porque es al que más veces he visto aplicada la etiqueta de simétrico—. Esta obra tiene una arquitectura sumamente perfecta, y, en su momento fue uno de los estímulos determinantes para que realizará un pequeño estudio (privado, por el momento) sobre las asimetrías en Mozart y otros autores.

Las variaciones, formalmente, representan un desafío al compositor. El caso más convencional es que se trate de la exposición de un tema que es luego sometido a diversas reelaboraciones. Esta definición es terriblemente escasa, pero suficiente para nuestros propósitos (no querría, por otro lado, extenderme demasiado sobre la variación, influido como estoy por las teorías de Douglas R. Hofstadter, que la tiene por el motor de toda la creatividad humana).

En la medida en que el tema sea equilibrado, se corre el riesgo de cada una de las variaciones también lo sea, lo que al cabo de un cierto tiempo causará desinterés. Necesitamos romper ese equilibrio, que cada variación, o elemento de la misma esté "cayendo" hacia la siguiente sección, creándose así estructuras formales de rango más amplio que la variación individual. Los mecanismos con se logra eso son de gran interés. Uno de ellos consiste en romper la simetría de los componentes que en el tema la posean.

Esta es la primera sección del tema de las variaciones K331.

Que suena así.

La estructura concuerda completamente con la anteriormente descrita, con los compases 1y 2 sirviendo de A1, 3 y 4 de A2, 5 y 6 de B1 y 7 y 8 de B2. A1 y B1 son exactamente iguales, y A2 y B2 suficientemente similares.

Escuchadla unas cuantas veces. El equilibrio es claro, y se nota en que no hay necesidad de que ocurra nada después (salvo por lo corto que resulta).

Este es el fragmento equivalente en la primera variación.

Que suena así.

Incluso sin saber leer música resulta visualmente obvio que los compases 5 a 8 son mucho más activos que los cuatro anteriores. Mozart, voluntariamente ha roto la simetría para provocar un mayor dinamismo. Podéis notarlo en la sensación de un final más contundente, que deja esperando un alivio de la tensión que produce. Es un efecto sutil, pero apreciable.

La obra consta de tema y seis variaciones. Las variaciones I, II y III rompen la simetría del tema (y van siendo cada una más activa que la anterior) . La IV, que va a desembocar en la V, que es lírica y serena, no. La V y la VI, vuelven a eludir la simetría. Si no fuese algo complicado describir toda la arquitectura de esta obra sin estar seguro de que leéis música, sería tentador para otro artículo.

Resumiendo

Tan importante es la simetría como la asimetría. Intentar hablar de una música como muy perfecta calificándola de simétrica no es hacer ningún favor a su compositor.

Veremos en no mucho tiempo como a veces incluso necesitamos una simetría "deformada" (el objeto reflejado, por llamarle de algún modo, tiene el mismo contorno pero no el mismo tamaño) para enfrentarnos a estrategias compositivas muy comunes.

Posted by Carl Philip at 07:02 PM | Comments (10)

Septiembre 22, 2004

Cabalismo en música: el 14 en Bach (y 2)

El coral luterano. Ars moriendi. El coral del lecho de muerte.

Para apreciar en su justa medida la explicación de lo que ocurre en el BWV 668 de Bach, es necesario estar familiarizado con los conceptos de coral luterano y ars moriendi.

El coral luterano

Una de las reformas del protestantismo fue la intervención de la feligresía en el culto, mediante el canto colectivo de textos religiosos . El origen de las melodías que así se cantaban era triple:

1. Cantos extraídos del gregoriano (puesto que los participantes ya los conocían).


2. Cantos populares o compuestos por alguien pero popularizados (misma razón).


3. Cantos compuestos expresamente para el culto. Puesto que debían ser aprendidos por el público, son minoría, y se introdujeron poco a poco, hasta que llegaron a ser tan populares como el resto.

A estos cantos los denominamos corales.

Los textos de los corales provienen de tomar la letra original y modificarla “a lo divino”, como se decía aquí en esas fechas o, más frecuentemente, eran escritos específicamente para la ocasión. Se aplicaban entonces a la melodía que se desease, modificando si era necesario la estructura rítmica y cadencial de la melodía. Se mantiene durante mucho tiempo esa idea de melodías que se pueden cantar con diversos textos, y hay que hacer notar que eso puede llevar a que una misma melodía deba soportar necesidades expresivas muy diversas.

El tratamiento armónico y contrapuntístico del coral sufre tremendos cambios durante el periodo que se extiende desde Lutero (creador del protestantismo) a Bach. Cuando llegamos a él, el coral está profundamente enraizado en la sensibilidad de los participantes.

Entre las particularidades del tratamiento de los corales por parte de Bach está su inmenso respeto al significado del texto. Si una misma melodía aparece en diversas ocasiones con diversos textos, la tratará armónica o contrapuntísticamente de forma que su carácter cambie consecuentemente. Y aquí nos encontramos con la causa de armonizaciones a veces atrevidísimas, que no se entenderían sin tener en cuenta el significado de las palabras. He aquí dos ejemplos:

El archicomentado Est ist Genug

Y el no menos merecedor de comentario Ach Gott und Herr

Os recuerdo que en otro sitio os deje una dirección desde la que escuchar los MIDIs de todos los corales de Bach.

El coral se usa también en forma instrumental, en forma notable en los llamados preludios corales, o corales para órgano. Aquí podemos encontrarnos con tratamientos muy diversos, entre los que destaca la presentación del coral en notas largas mientras se acompaña contrapuntísticamente, frecuentemente con motivos extraídos del coral. También aquí el grado de respeto de Bach hacia el texto impresiona. Por no hablar de la fantasía e imaginación que demuestra.

Debe decirse que el coral aparece en la obra de Bach por todas partes. Las cantatas se basan a menudo en corales. E incluso obras camerísticas como pueden ser las partitas y sonatas para violín solo hacen uso de corales. Esto no es excepcional: de un luterano de la época se esperaba que el coral figurase ampliamente en el ámbito doméstico.

Más detalles al respecto los podéis ver en un largo e-mail que le escribí a Amancio Delgado, al que le hizo gracia y le puso un título y notas a pie de página y lo publico en su Web. Y, naturalmente, en el precioso libro Bach, el músico poeta de Albert Schweitzer.

Ars moriendi

Es fundamental entender que para un buen luterano de la época de Bach. la reflexión contínua sobre su propia muerte era obligada. El propio Lutero exhortaba a sus feligreses a pensar contínuamente sobre ella. Y se escribían libros sobre las mejores formas de afrontar la muerte, alguno de los cuales se hallaba en posesión de Johann Sebastian.

Por lo mismo, cuando un enfermo estaba moribundo, toda su familia se congregaba a su alrededor, instándole a morir religiosamente, y observando con la máxima atención cualquier signo que pudiera dar señal de qué iba a pasarle en la otra vida.

Por lo mismo, el dedicar pensamientos frecuentes a las últimas palabras que uno iba a decir era obligado. Una última declaración demostraría la religiosidad del moribundo. Y meditándola durante toda la vida, se esperaba que fuese de calidad.

Para mayores detalles, desde aquí podéis descargar como muestra gratuita las primeras veinte páginas de Bach and Meanings of Counterpoint. Tratan ampliamente del ars moriendi y del BWV 668.

BWV 668: “el coral del lecho de muerte de Bach”

Durante la primavera de 1750, Bach padeció una enfermedad ocular, tan dolorosa que se hizo operar en uno de los últimos días de marzo por John Taylor —médico que también operó a Händel, con resultados igual de funestos—. La operación no dio buen resultado, así que se repitó pocos días después. A partir de entonces (os ahorro por escabrosos los detalles de la operación), Bach anduvo muy enfermo, casi con certeza completamente ciego, además.

Sufrió una apoplejía el 20 de julio que le hizo ver que su fin estaba próximo.

La leyenda nos dice que Bach, moribundo, dictó desde su lecho de muerte, en forma improvisada, el coral para órgano Von deinen Thron tret ich, a un visitante que pudo ser J. C. Altnickol. Este coral extraordinario refleja una sabiduría contrapuntística y musical sin paralelos.

El día 28 de julio, jueves, a eso de los ocho y cuarto de la tarde, el Cantor muere, sea la tierra blanda para sus huesos.

En la práctica, lo único que hay que corregir de la leyenda es que fuese de forma improvisada como se dictó el coral.

La melodía de ese coral se cantaba habitualmente con el texto Wenn wir in höchsten Noten (Cuando estamos ante la mayor aflicción). Bajo este título, Bach tiene varias versiones, dos vocales y algunas más organísticas. Una de ellas (BWV 668a) es, con evidencia, la base a partir de la cual crea su coral.

La costumbre del ars moriendi nos autoriza a pensar que Bach pensaba frecuentemente en la muerte. Es más que posible que hubiese decidido que Wenn wir in höchsten Noten fuese su declaración final. Así, por ejemplo, en el tratamiento que hace de ese coral en BWV 641, ornamenta la melodía del coral hasta que las 32 notas del original se convierten en 158 (vimos en un artículo anterior que 158 es la suma de las letras de JOHANNSEBASTIANBACH). Es cierto que sólo este detalle, no prueba nada, pero hay más.

En el BWV 668, cambia el texto del coral por Vor deinen Thron tret ich
Hoy que comparezco ante tu trono
Oh Dios, te ruego humildemente
no apartes tu clemente rostro
de mí, que soy un pobre pecador.

Otórgame un fin dichoso,
despiértame en el Día Final,
Señor, y que te contemple eternamente.
Amén, amén, escuchamé.

Parece evidente que Bach contemplaba su muerte, y ya desde el primer verso se presenta en forma personal ante su dios.

También lo hace en forma cabalística: la primera frase del coral la ornamenta hasta que tiene 14 notas (suma de BACH). Y el número de notas total del coral es 41 (suma de JSBACH).

Es evidente que nada de esto prueba nada, pero es bastante sugerente, sobre todo si lo sumamos a las múltiples otras apariciones de elementos cabalísticos en la obra de nuestro amigo.

Sobre la interpretación: siendo la última obra de Bach, bastantes organistas la suelen tocar extremadamente lento, mientras que otros la tocan alegre y pimpante. Me siento incapaz de preferir una u otra versión. En la dirección que mandé con tres versiones midi, hay ejemplos de ambas posibilidades.

Aquí os dejo la partitura, con cada voz en un pentagrama, en lugar de escritura organística convencional por si queréis analizarla en el sentido que lo hicimos con la invención nº 1. Garantizo sorpresas y maravillas.

Posted by Carl Philip at 12:27 PM | Comments (14)

Septiembre 20, 2004

Cabalismo en música: el 14 en Bach (1)

Definición del término. Valoración. Comienzo del estudio del 14 en Bach.Actualización del 22-10-2004

Hoy vamos a comentar un campo de aplicación de los números a la música bastante curioso. Vamos a denominarlo cabalismo. Estrictamente hablando, el cabalismo sería el tipo de operaciones que se hacen para interpretar la Kabbalah, libro sagrado judío. Estás interpretaciones se hacen, entre otros procedimientos, asignando valores a las letras de una palabra y sumándolas. Si dos palabras tienen el mismo valor, son equivalentes, a partir de lo cuál se deducen importantes significados “ocultos”. Por ejemplo, luego veremos como BACH = 14, y JSBACH= 41. Como 14 se puede desglosar en 1+ 4= 5, y 41 en 4+ 1 =5, serían palabras equivalentes según ese sistema.

Puesto que de lo que voy a hablar no tiene relación alguna con el libro de la Kabbalah, podría usar otro término en lugar de cabalismo, como por ejemplo, numerología. No lo voy a hacer por varias razones:

1. La palabra “numerología” tiene demasiadas connotaciones asociadas a esta curiosa fauna que se ofrece a resolverte la vida si llamas a un teléfono de pago.
2. Las múltiples operaciones reconocidas por el cabalismo, tales como por ejemplo la gematría —precisamente, asignar valores numéricos a las letras—, eran bien conocidas por la mayoría de los compositores barrocos alemanes —a partir de los cuales, las ha conocido todo el mundo—, con lo que su uso me parece legítimo.
3. Deseo incluir dentro del cabalismo en música ciertas operaciones que no están, en principio, asociadas a números. El empleo de la palabra “numerología” parece pues poco apropiado.

Definamos el cabalismo en música como el empleo de números u otros elementos para transmitir, de forma no evidente, ciertos significados y/o para construir la música.

Por ejemplo, en el sistema alfabético alemán, B es si bemol, A es la, C es do y H es si natural. El empleo de sib- la- do- si como firma por parte de Bach, o como homenaje por parte de cientos de compositores (dos casos: Listz en la Fantasía y Fuga sobre el nombre de Bach y Webern en el segundo movimiento del Cuarteto opus 28) sería pues cabalístico.

¿Cómo aplicarlo numéricamente? Si un determinado número, pongamos por caso el 5 me parece relevante, puedo hacer frases de cinco notas, emplear cuartas justas (tienen cinco semitonos), emplear duraciones de blanca ligada a corchea (totalizan cinco corcheas)… Este empleo no va, en principio, a ser detectado como tal por el público, ni va, en general, a determinar nada sobre la mayor o menor calidad de la obra. Llamemos no constructivo a este tipo de manejo numérico, a menudo juguetón.

Casos más complejos podrían ser la utilización de la serie de Fibonacci por parte de Bartók —espero hacer un artículo sobre ella en el futuro—, la influencia del 13 (como suma de 7 y 6) en la gama de George Crumb, la enorme incidencia de ciertos números en la serie Dream and Number de Takemitsu, o la inmensa importancia del cálculo estadístico en mucha de la obra de Xenakis. Cuando estos procedimientos llegan a tener este grado de influencia sobre la forma, llamémosles constructivos. Es, naturalmente, difícil establecer a priori la barrera entre ambos usos.

Antes de ver con algún detalle un uso concreto de estos procedimientos, quiero valorarlos. Cualquier cosa que estimule la imaginación del compositor es buena. Si los números estimulan al compositor, debe emplearlos. Si lo que le estimula es el descriptivismo (Kuhnau, Vivaldi, Berlioz, Messiaen, entre otros, lo toman como uno de sus factores), la resolución de problemas técnicos instrumentales (Chopin, Listz, Paganini, Debussy han escrito obras en este sentido) o compositivos (Bach, Hindemith, Stravinsky, Messiaen serían algunos casos), eso es lo que deben emplear. Por no hablar del caso, más normal, de que se empleen cuantos estímulos sean apropiados. En todos los casos se trata de de una información (in-formar: dar forma) ajena a lo estrictamente musical, que puede, sin embargo, ser el disparador que prenda en la mente del compositor una idea que quizá no hubiese conseguido de otra forma.

Dependiendo de lo que me digáis o dejéis de decirme acerca de este artículo, podemos explorar este tema con más ejemplos de los que usaré hoy.

Vamos hoy a explorar el interés de Bach por el número 14. Voy a usar los simbolismos naturales a su religión, época y contexto. No se entienda que creo en ellos más allá del buen resultado musical que le dieron.

Comencemos por usar gematría y asignar a cada letra del alfabeto del latín un valor, según su orden normal. Recordad que el latín no tiene J —habréis visto alguna vez Iohannes, como nombre de Brahms—, U —AVGVSTVS, en lugar de AUGUSTUS— ni W.

Obtendremos esta tabla:

• A=1
• B=2
• C=3
• D=4
• E=5
• F=6
• G=7
• H=8
• I y J=9
• K=10
• L=11
• M=12
• N=13
• O=14
• P=15
• Q=16
• R=17
• S=18
• T=19
• U y V=20
• X=21
• Y=22
• Z=23

Si sumamos las letras que forman la palabra BACH obtenemos:

2+ 1+ 3+ 8= 14.

14, siendo dos veces siete, dentro de la simbología cristiana puede representar tanto la doble naturaleza de Jesucristo como los siete días que tardó en crearse el mundo. Además, 7= 3 (número divino, dentro del contexto cabalístico)+ 4 (número humano en el mismo contexto), de forma que 7, en sí mismo implica la totalidad. 14, como doble totalidad aparece reiteradamente en el antiguo testamento, por ejemplo, la fiesta de dedicación del templo de Salomón duró 14 días, Jacob sirvió 14 años a Raquel…

La suma de JSBACH es:

9+ 18+ 2+ 1+ 3+ 8= 41.

41 es un número bastante interesante puesto que 41 es el retrógrado de 14, por un lado, mientras que por otro, la diferencia entre 41 y 14 es 27, número obtenible al multiplicar tres treses (3* 3* 3=27), invitando así a considerarlo símbolo de la trinidad.

Además, la suma de JOHANNSEBASTIANBACH nos da 158, número también interesante dado que 1+ 5+ 8=14, de nuevo.

Y, aunque no nos vamos a ocupar de este número aquí, la suma de JOHANNSEBASTIAN da 144, número que al ser el cuadrado de 12 (12*12= 144), puede representar la unión de las doce tribus de Israel y los doce apóstoles, expresando así la unidad entre el antiguo testamento y el nuevo. Sin contar con que 12 es el doble de 6, número llamado perfecto porque la suma de sus divisores es igual a su producto (1+ 2+ 3 = 1* 2* 3), y porque es el número de días de la creación (“al séptimo descansó”).

Alguna vez que he hablado de estas cosas, hay quien me ha respondido que hay que ver la suerte que tenía Bach de tener ese nombre. Tres cosas quisiera aclarar:

1. Si Bach se hubiese llamado Pepe Pérez, hoy tendríamos la máxima envidia de ese estimable nombre. Los números estimulaban a Bach, no le produjeron.


2. Usar ese orden alfabético y ese alfabeto en concreto son decisiones arbitrarias. Musicalmente, los resultados que dan, pueden ser otra cosa, si el compositor es bueno.


3. Cualquier número puede hacerse significativo. Si no me pareciese algo vanidoso, lo demostraría empleando la gematría en mi propio nombre, empleando la simbología que me es propia. Proponed alguno, y le buscamos significado.

En todo caso hablamos de Bach y de sus símbolos. ¿Era él consciente de todo esto?

En primer lugar, era práctica extendidísima el empleo de cabalismos por todos los compositores de su generación.

En segundo, no aceptó entrar en la Sociedad de la Ciencia Musical hasta que hubo otros 13 miembros, garantizándole así el número 14.

Tanto en su monograma como en algún cuadro suyo hay evidencias significativas del número 14. Por no hablar de la gran cantidad de veces que aparece en su obra.

Pero, quizá el caso más significativo, sea su relación con el coral Wenn wir in höcshten Nöten sein (Cuando estamos en la mayor aflicción), conocido en la versión que aparece en la BWV 668, —Vor deinen Thron tret ich (Ante tu trono comparezco)— como “el coral de la muerte de Bach”, por ser su última obra, dictada desde el lecho de muerte. Como la historia es interesante, pero tendré que explicar qué es un coral y el ars moriendi de la cultura protestante de esa época y lugar, lo dejamos para un próximo artículo. Habrá cosas muy bonitas en él.

Termino anticipando tres tipos de respuesta:

1. Una música tan bella como la de Bach no puede haberse ensuciado con números o haber sido causada por ellos. Respuesta: como antes dije, si esto disparó la imaginación de Bach, estupendo. No es causa de su buen funcionamiento. Además, los números casi nunca muerden.


2. La estadística demostraría relaciones significativas con cualquier número, particularmente los no muy altos, que están condenados a aparecer más veces. No es posible demostrar que el 14 estuviese en la mente de Bach. Respuesta: concuerdo en que no es posible demostrarlo, pero tanto lo que sabemos de la época como el inventario de libros que tenía a su muerte, revelan interés por temas cabalísticos.


3. Todos estos números explican a Bach. Tales señales y portentos no pueden ser casuales. Respuesta: no explican nada más que la mentalidad juguetona e inquisitiva de Bach, que queda además reflejada en muchas otras cosas.

Hasta el próximo artículo.

Actualización del 22-10-2004

Me informan de que entre los varios alfabetos que se empleaban en gematría, también se usaba uno que contenía la W. Eso no afecta a ninguna de las cifras que se usan para este artículo, pero quién quiera usar la tabla aquí expuesta para otros cálculos puede necesitar cambiar sus últimos valores por:

• W=21
• X=22
• Y=23
• Z=24

Ustedes lo pasen bien.

Posted by Carl Philip at 06:34 PM | Comments (8)

Septiembre 18, 2004

Música y matemáticas (2d)

Cómo se han aplicado en el siglo XX algunas de las técnicas recientemente vistas.

Comencemos con un breve resumen de lo visto en capítulos anteriores.

En el primer capítulo estudiábamos la necesidad de que la obra sea unitaria. Veíamos también que una de las formas en que eso se podía lograr era por medio de la repetición de material temático, sometido a transportes. Notábamos también que el proceso era semejante a ciertas manipulaciones topológicas y numéricas.

En el siguiente artículo, estudiábamos las llamadas técnicas de transformación temática del contrapunto, viendo que existía igualmente la posibilidad de encontrar semejanzas con la topología y la aritmética modular.

En el penúltimo capítulo veíamos ejemplos de todo ello dentro de una obra de Bach.

Comencemos por aclarar que en época de Bach esas técnicas eran ya muy antiguas, y que podemos encontrar tantos ejemplos como sea preciso de su utilización. De la misma forma, los ejemplos dentro de la obra de Bach se extienden a la práctica totalidad de su obra. Y ejemplos posteriores son también enormemente abundantes.

Es por ello que cuando la Segunda Escuela de Viena necesita encontrar una forma de utilizar su concepto de serie, recurre a estos medios para manipularla. En otra parte de esta web podéis encontrar un artículo extenso sobre cómo esta escuela no pretende una ruptura con la tradición sino todo lo contrario.

Podríamos definir brevemente la serie como una determinada ordenación de un conjunto de notas, estableciendo que la octava en que se encuentre cada nota es irrelevante (esta última condición es el equivalente de la teoría de las Pitch classes, de tanta vigencia en Norteamérica. En el caso concreto de la Segunda Escuela de Viena, hay que añadir la condición de que se empleen todas las notas de la escala cromática una sola vez. Otras condiciones son irrelevantes para los propósitos de este artículo.

Tras la segunda guerra mundial, por razones que no vienen ahora al caso, se desarrolla el concepto de serialismo integral, que viene a consistir en que se aplica el concepto de serie a parámetros diferentes de la altura, como pueden ser duraciones, ritmos, ataques, dinámicas, timbres…

Esta aplicación del concepto de serie resulta contraintuitiva para muchos músicos, que no aciertan a veces a comprender cómo las técnicas de transformación del contrapunto pueden aplicarse a estos elementos.

La base para comprenderlo, es aplicar el concepto de modularidad a estos parámetros. Para poner un ejemplo, vamos a jugar con combinaciones de timbres.

• Combinación 0: Violín, viola, flauta.
• Combinación 1: Arpa, viola, flauta.
• Combinación 2: Arpa, viola, vibráfono.
• Combinación 3: Arpa, marimba, vibráfono.
• Combinación 4: Violín, marimba, vibráfono.
• Combinación 5: Violín, marimba, flauta.

Es fácil ver que comenzamos en 0 con una combinación de sonidos contínuos (a partir de ahora los denominaremos sonidos de tipo línea) y vamos añadiendo sonidos no contínuos (a partir de ahora los llamaremos de tipo punto) hasta que en 3, ninguno lo es, y luego procedemos al contrario, logrando así una disposición de los timbres que resulta evidentemente ordenada y modular. Supongamos que establecemos un motivo tímbrico [0, 1, 2, 3, 5, 0]. La sensación para el oído será la de un tránsito suave de los sonidos línea a los de tipo punto y luego un regreso rápido a los de tipo línea, que se confirmaría en el último paso.

¿Cabría aplicar la técnica del transporte? ¿Tendría sentido musical? Para comprobarlo, transportemos a la combinación 3.

En forma gráfica.

Nos da

En forma modular, sumando 3 a cada miembro de [0, 1, 2, 3, 5, 0], nos sale [3, 4, 5, 6, 8, 3]. Como 6 y 8 exceden las 6 combinaciones que hemos establecido, restamos 6, hasta conseguir números entre 0 y 5, con lo que nos queda [3, 4, 5, 0, 2].

Podemos observar que vuelve a tener perfecto sentido musical, en este caso una transición suave de los sonidos punto a los línea, una brusca a los de tipo punto y una confirmación final.

Resulta evidente que podemos aplicar el mismo tipo de operaciones para crear los análogos de inversión, retrogradación e inversión retrograda, y de los transportes de cada una de ellas (si no resulta evidente, comentadlo).

Dos cosas quedan por comentar. La primera, que no en todos los casos va a resultar tan evidente la posibilidad de modularizar los parámetros que deseemos. Lanzo la afirmación, que espero que discutáis, de que la modularización es siempre arbitraria, incluso en el caso de las alturas, añadiendo inmediatamente que esa arbitrariedad supone una decisión por parte del compositor de sustentar parte de la forma de la obra en el parámetro elegido (sobre este tipo de arbitrariedad, tendré ocasión de comentar cosas en un próximo artículo).

La segunda, es para mí la más importante. Creo que uno de los resultados más extraordinarios del serialismo integral es la idea de poder confeccionar escalas de elementos diferentes a la altura. Esta posibilidad de escalizar elementos ha sobrevivido mucho y bien al serialismo integral, y supone un grado de enriquecimiento de la música notable, en la medida en que abre todos los parámetros musicales a la posibilidad de sustentar la forma.

Termino con esto esta subserie. En otro orden de cosas, anuncio que los siguientes artículos con contenidos matemáticos no tendrán por título "Música y matemáticas", para no tener que llevar cuentas de qué número y letra habéis leído o dejado de leer. En su lugar, abro una categoría nueva (la podéis ver en la barra azul de la izquierda de la portada) con ese título.

Posted by Carl Philip at 02:30 PM | Comments (7)

Septiembre 10, 2004

Bach en acción. Música y matemáticas (2c)

Ejemplos de algunas de las cosas vistas en artículos anteriores en una obra de Bach.

En 1723 Bach decide reunir una serie de obras escritas para el aprendizaje de sus hijos (Wilhelm Friedemann, sobre todo) bajo el título de Invenciones y Sinfonías. La obra recoge quince piezas a dos voces y otras quince a tres, todas ellas con estructura similar —si entramos a profundizar, podemos subdividir en tres tipos de estructura, pero es innecesario para los propósitos de este artículo—. No es ocioso, en cambio, comentar que la palabra Invención proviene de la retórica, y que muchos procedimientos empleados en estas obras se asemejan a los de la retórica.

En el prefacio de la colección, Bach escribe "Recta instrucción en que a los amantes del teclado, y especialmente aquellos deseosos de aprender, se les muestra un camino claro no sólo (1) para aprender a tocar claramente a dos voces, sino, después de progresar, (2)para manejarse correctamente y bien con tres partes de obligatto; más aún al mismo tiempo no sólo a tener buenas invenciones sino a desarrollarlas bien y, sobre todo alcanzar un estilo cantabile al tocar y adquirir un fuerte pregusto de la composición (las negritas son mías).

Bach compuso pues una obra no sólo para enseñar a tocar, sino también a componer. Es por ello que suelo usar las Invenciones para ilustrar ciertos procesos compositivos.

La invención de la que nos vamos a ocupar es la nº 1, a dos voces, que podéis oír pulsando aquí si vuestro navegador es capaz de reproducir archivos MIDI. La interpretación es mecánica para que podáis sacar vuestras propias conclusiones. Si deseáis escuchar una grabación muy bien interpretada, os recomiendo la de Kenneth Gilbert.

Veíamos en un capítulo anterior como la creación de forma depende en ocasiones de la repetición de un fragmento musical. Aquí tenéis el fragmento sobre el que reposa esta pieza. A este tipo de fragmentos que sirven de base a una obra, los denominamos cuando cumplen ciertos requisitos motivos, o, más exactamente en este caso sujetos.

En ese mismo capítulo hablábamos de como podíamos conseguir por medio del transporte una mayor satisfacción para el oído sin perder unidad. Pulsando aquí podréis escuchar un ejemplo singularmente trivial —no tiene sentido intentar mejorar a Bach— de este procedimiento.

En el capítulo siguiente veíamos que existe una técnica de transformación temática llamada inversión. Pulsando aquí podéis escuchar el sujeto de esta invención invertido.

Como es natural, en la creación de melodía pueden combinarse ambas versiones, más transportes de las mismas.

En mi experiencia, cuando uno explica estos procedimientos, tiende a encontrarse que la gente piensa que son fríos, mecánicos y poco humanos. Lejos de ello, son muy naturales y es fácil interiorizarlos hasta que salgan de manera espontánea sin pensar en ellos.

Observemos si Bach ha empleado algo de esto. Para los que no sepáis leer música, estad tranquilos, sólo os hace falta distinguir los colores que hay en la partitura.

• Marcadas con elipses rojas, están las apariciones del sujeto en su forma original —no he distinguido los transportes porque hubiese necesitado una partitura mucho mayor, que hubiese hecho impráctico leer el archivo a quienes se conecten por módem—.
• Marcadas por elipses azules, las intervenciones por movimiento contrario.
• Marcadas con cuadrados rojos, intervenciones de tan sólo las cuatro primeras notas del sujeto, casi siempre con valores rítmicos dobles —este proceso se llama aumentación—.
• Marcadas con cuadrados azules, intervenciones de tan sólo las cuatro primeras notas por movimiento contrario, también casi siempre por aumentación.
• Marcadas con cuadros verdes, intervenciones del final del sujeto enlazado varias veces consigo mismo.
• Subrayadas en verde intervenciones de las últimas notas por movimiento contrario y aumentación.

No he querido marcar un motivo de menor importancia que existe en la obra para no acumular grafismos. Y, por no generar polémica, no he marcado algunos puntos que puede argüirse perfectamente que se derivan también del sujeto.

Como cualquiera puede ver, el único compás de la obra en que no aparece el sujeto o fragmentos del mismo, varias veces, además, es el que contiene el acorde final. Creo que esto demuestra claramente la eficacia de las técnicas que hemos comentado recientemente.

El próximo artículo de esta subsección será el último. En él veremos qué ideas han sugerido a los compositores del siglo XX y XXI estas técnicas. Posteriormente, hablaremos de otros tipos de utilización de números en la música, comenzando con la obsesión de Bach por el 14 y cómo lo aplicó en su última obra, que dictó desde el lecho de muerte.

Posted by Carl Philip at 03:32 PM | Comments (21)

Música y matemáticas (2b)

Técnicas de transformación temática del contrapunto. Similitudes con la simetría. Cálculo numérico.

En el capítulo anterior, veíamos como una técnica sencilla como el transporte servía para producir unidad dentro de una obra. Muchas otras son posibles, pero dentro de las estrictamente referidas a alturas, son muy usuales las llamadas transformaciones temáticas del contrapunto, nombre por cierto que puede dar lugar a error, puesto que no es necesario que haya contrapunto o incluso polifonía en la obra para que su empleo sea frecuente.

Una de las ventajas que nos proporcionaba el transporte era la de provocar simultáneamente unidad y variedad. Es evidente que cualquier técnica de este tipo nos va a resultar extraordinariamente útil, por su economía.

La primera técnica se denomina inversión o movimiento contrario. Consiste en respetar el perfil melódico, pero invertir la dirección del intervalo. Es decir: los saltos melódicos ascendentes los convertimos en descendentes y viceversa.

El ejemplo que veníamos usando era DO- RE- MI- SOL. DO- RE y RE- MI son segundas ascendentes, así contestaremos con segundas descendentes, DO-SI y SI-LA. MI- SOL es una tercera ascendente, así que contestaremos con una tercera descendente desde LA, LA- FA, así que la inversión será DO- SI- LA- FA

Dentro de nuestra analogía gráfica, significa que

se convierte en

que, como podemos observar, es claramente la figura simétrica al original.

Numéricamente, expresábamos DO- RE- MI- SOL como [0, 1, 2, 4]. ¿Podemos a partir de estas cifras calcular la inversión?

Sí. Vamos a restar cada uno de estos elementos de 7, que es el número de notas de la escala que hemos elegido emplear.

• 7-0=7
• 7-1=6
• 7-2=5
• 7-4=3

  Con lo que nos queda [7, 6, 5, 3].

  Volvemos a encontrarnos con que 7 no está definido. Y la solución es la misma que para el transporte: restamos 7 (o el número de notas que tenga la escala) tantas veces como sea necesario hasta encontrarnos con un número entre 0 y 6 (o entre 0 y el número de notas de la escala). Con lo que nos queda [0, 6, 5, 4], o sea, DO- SI- LA- FA.

  Lógicamente, podemos combinar la inversión y el transporte, de forma que obtenemos una buena cantidad de versiones del material original, que cumplen simultáneamente el objetivo de proporcionar unidad y variedad.

  Antes de continuar, hagamos un par de comentarios sobre estas transformaciones. Es importante saber que el transporte y la inversión son utilizadísimas en la historia de la música occidental, y bastante en la de otras culturas. No por ser procedimientos que pueden modelarse geométrica o numéricamente hay que pensar que sea mecánicos o carentes de calor. Os emplazo para ver en el próximo artículo como Bach puede generar la práctica totalidad del material de una pieza desde estas premisas.

  Hay también que decir que estos procedimientos se aplican empleando el sentido común. Hay materiales que funcionan especialmente bien o especialmente mal al someterlos a la inversión a a cualquier otra de las transformaciones. No hay ni que decir que el compositor empleará los que funcionen bien.

  El siguiente procedimiento se denomina retrogradación. Hasta ahora, nos ha sido cómodo ignorar que las notas que hemos elegido tienen un determinado orden. Ahora necesitamos tenerlo en cuenta. En forma de notas, no hay problema: DO- RE- MI- SOL en su orden normal de lectura aporta toda la información.

  En forma gráfica, podemos indicar el orden empleando una flecha.

  

  Y en forma numérica, sigue valiendo el orden normal de lectura.

  Pues bien, la retrogradación va a consistir en comenzar desde la última nota hasta alcanzar la primera, o, sí preferís, en leer de derecha a izquierda las notas.

  DO-RE- MI- SOL se convierte en SOL- MI- RE DO.

  

  se convierte en

  

  
  Y [0, 1, 2, 4] se convierte en [4, 2, 1, 0]

  La última técnica de transformación temática se denomina inversión retrógrada, y consiste en la aplicación de la inversión y la retrogradación simultáneamente. El orden en que se apliquen es irrelevante, puesto que nos saldrá la misma estructura interválica, aunque transportada, según empecemos por una u otra.

  DO- RE- MI- SOL se convierte en FA- LA-SI-DO

  En forma gráfica, aplicamos la simetría y cambiamos el orden de lectura.

  

  Y, numéricamente, [0, 1, 2, 4], se convierte en [4, 6, 7, 0].

  Disponemos entonces, para un material melódico dado, de cuatro versiones:

  1. La forma original, que representamos por O.
  2. La forma invertida, que representamos con una I.
  3. La forma retrograda, que representamos con una R.
  4. La forma sometida a inversión retrógrada, que representamos con IR.

  Cada una de estas cuatro versiones puede ser sometida a transporte, de forma que disponemos de 28 (7*4, número de notas de la escala multiplicado por el número de versiones) posibilidades de uso. Más, de hecho, si podemos cambiar la escala de referencia.

  En el próximo artículo de esta subserie, veremos algunas de estas posibilidades en acción.

  Posted by Carl Philip at 09:04 AM | Comments (4)

  Septiembre 07, 2004

  Música y matemáticas (2a)

  Creación básica de forma musical. Transportes. Equivalentes gráficos. Modularidad de las alturas.

  En esta subserie de artículos (los que llevan por título Música y matemáticas 2, y una letra), comenzaré desde conceptos muy básicos para músicos que pueden no serlo tanto para matemáticos y viceversa. Cuando acabe la subserie (tres o cuatro artículos), algunos elementos que muchos músicos consideran crípticos del serialismo integral, deberían quedar más claros. También será útil a quién quiera desarrollar aplicaciones informáticas que se refieran a música. Y a los demás, os deseo que al menos os divirtáis.

  Empecemos, pues.

  Una de las cosas más necesarias para que la música "funcione" es que tenga unidad. Es claro que una cantidad de sonidos que se relacionen entre sí sin nada que los relacione (digamos las esquilas de un hato de ovejas, superpuestas al murmullo de un rio, mientras pasa un helicóptero y al lado otro excursionista tiene la radio demasiado alta), va a ser difícil de percibir como experiencia musical unitaria, aunque puede admitirse que haya quien disfrute de tal experiencia sonora.

  Necesitamos más bien algo que nos haga pensar que la obra se relaciona consigo misma, que cada momento que oímos, se relaciona con los que hemos oído o los que nos quedan por oír —las formas en que se puede conseguir esto son incontables, y no excluyen el contraste—.

  Dentro de las formas más primitivas —que está lejo de significar toscas— de conseguir esto, tenemos la repetición de una línea melódica no demasiado larga. Esta repetición aportará unidad a la obra, logrando que nuestro oído alcance satisfacción. Esta práctica es el origen, por ejemplo, de todas las formas musicales basadas en el ostinato.

  Lo malo de este procedimiento es que puede, fácilmente, producir demasiada unidad, y acabar resultando aburrido. Dentro de unos párrafos comenzaremos a encontrar alternativas a esta monotonía.

  Otra de las posibilidades para crear unidad es limitar el rango de frecuencias con que trabajamos: en lugar de emplear todo el espectro de frecuencias comprendido entre los 40 y los 20.000 Htz que abarca el oído humano, limitamos estas frecuencias a unas pocas (según mis conocimientos, ésto ha sido universal en todas las culturas hasta la aparición de instrumentos electrónicos). Así, elegimos unas pocas frecuencias con las que trabajar, y formamos escalas.

  El intervalo de octava, por motivos en parte físicos (es singularmente presente en la naturaleza) y en parte biológicos (el registro de mujeres y hombres cuando cantan juntos difiere normalmente en esa cantidad), acaba dominando la elección de esas frecuencias, de forma que lo usual en todas las culturas es que dentro de una octava se elijan ciertas frecuencias y se repitan en todas las demás. Los pocos casos en que eso no ha sido exacto —hablo de músicas populares—, es cuando se ha dispuesto de instrumentos —las steel drums tropicales, por ejemplo—, cuyo rendimiento difiere en cada octava.

  Con esto llegamos a que las escalas se han tratado de una forma que, a partir de ahora, denominaremos modular. Si observamos un reloj, no nos parece ilógico que después de las doce venga la una. O a quien juegue bien a las cartas —no es mi caso—, tampoco le parecerá extraño que en la baraja francesa después de la reina y el rey vengan el as y el dos. Son casos, por así decirlo, en que imponemos un orden pero no un principio y un fin.

  Observemos una escala diatónica normal.

  

  Podemos observar que he optado por representarla en círculo. A todos nos han hecho en el colegio aprender "do, re mi, fa, sol, la, si, DO", y si no, las andanzas de la familia Trapp se han encargado de lo mismo. Por tanto es sensato adoptar una disposición circular que represente esta modularidad.

  Aquí podemos observar lo mismo con una escala cromática.

  

  Volvamos ahora a cómo usar repeticiones y aportar además de unidad, variedad. Para nuestro ejemplo, digamos que el fragmento melódico que deseamos repetir es DO- RE- MI- SOL, que represento a continuación como una figura geométrica dentro de la escala diatónica.

  

  Una primera posibilidad consistiría en lo que llamamos transportar, que consistiría en repetir las mismas distancias desde una nota diferente, si comenzamos desde RE, que es la siguiente a DO, tenemos que:
  

  • La siguiente a RE, es MI
  
  
  • La siguiente a MI, es FA
  
  
  • La siguiente a SOL, es LA

  De forma que nuestro D0-RE-MI-SOL, se transforma en RE- MI- FA- LA. El oído se sorprende ante lo nuevo, reconoce el parentesco y queda satisfecho, lo que es una suerte porque es un procedimiento de construcción melódica que ha marcado la inmensa mayoría de la música, de, por ejemplo, Bach —un caso diáfano es la invención número 1— o Mozart.

  Es una operación equivalente a un giro, si seguimos con nuestra analogía visual..

  

  Otra forma en que podríamos haber hecho esto es numerando las notas:

  • Do=0
  • Re=1
  • Mi=2
  • Fa=3
  • Sol=4
  • La=5
  • Si=6

  Con lo que nuestro DO- RE- MI- SOL, se convierte en [0, 1, 2, 4].

  Puesto que la diferencia entre 0 y 1 (do y re, a donde queremos transportar el fragmento) es uno, no tenemos más que añadir 1 a cada miembro de esta hilera de números para conseguir [1, 2, 3, 5], que al retraducir, nos da RE- MI- SOL- LA. Los músicos quizá podamos pensar que es más difícil hacerlo así, pero es un procedimiento que conviene conocer, por varias razones:

  1. Va, en un futuro, si así lo deseamos, a posibilitarnos transportar, o su análogo, elementos diferentes a la altura.
  2. A las máquinas se les da mucho mejor sumar que el solfeo. Planteándole las cosas de esta forma a un ordenador, podemos lograr que transporte sin problemas la integral de las sinfonías de Mozart en cosa de segundos, o menos, cosa que es práctica hasta el exceso, como cualquiera que toque instrumentos transpositores o haya escrito para ellos sabe perfectamente. —Nota: estoy ignorando deliberadamente la asignación de octava de las alturas para simplificar—

  Es obvio que para un transporte ascendente debemos sumar, y para uno desdendente, restar.

  Hay sin embargo, un problema con este procedimiento. Supongamos que quiero fransportar el fragmento a FA. La diferencia entre DO y FA es 3, con lo que [0, 1, 2, 4], se convertiría en [3, 4, 5, 7]. Y resulta que 7 no lo tenemos definido en la tabla anterior.

  La solución es restar 7 (el número de notas de esta escala) de todo número mayor o igual que 7, tantas veces como sea necesario hasta obtener un número entre 0 y 6. De la misma forma, si en algún momento obtuviésemos resultados negativos, habría que sumar 7, hasta conseguir lo mismo.

  Termino este artículo apuntando que con otras escalas de un número diferente de notas, los resultados serían distintos en el transporte. En la escala cromática, DO- RE- MI- SOL se convertiría en RE- MI- FA#- LA. En los grafismos,

  

  se convertiría en

  

  Y, obviamente, en el procedimiento numérico, hay que numerar de 0 a 11, y restar o sumar doces en consecuencia.

  En un próximo artículo veremos como con procedimientos gráficos y numéricos como estos, podemos modelar el resto de las transformaciones temáticas del contrapunto.

  Posted by Carl Philip at 04:52 PM | Comments (10)

  Septiembre 06, 2004

  Música y matemáticas (1)

  Algunas bases previas.

  Comienzo con éste, una serie que preveo larga de artículos relacionando la música con las matemáticas, tanto para confirmar algunas relaciones como para dudar de otras.

  En el mundo de la música existe una tendencia notable a desconfiar de las matemáticas, e incluso a valorar negativamente una obra diciendo que es "demasiado matemática". En mi opinión, es una idea relacionada con una enseñanza matemática quizá defectuosa y con una comprensión insuficiente de lo que es la matemática.

  Algo que debería empezar por aclarar es que las matemáticas son una herramienta. En la espléndida bitácora de Tio Petros podemos encontrar una buena explicación, basada en modelos. Dicho en otras palabras: siempre que al lado de dos naranjas caigan otras dos, el total será cuatro, incluso si no hay ninguna voluntad matemática implicada. Si efectuamos una operación de abstracción podemos llegar a la elucubración de que 2+2=4, concepto útil porque se aplica a muchas otras cosas distintas a las naranjas (ya no trabajamos con objetos físicos sino con modelos). Y abstrayendo aún más, podemos llegar a la suma.

  De la misma manera, por poner un ejemplo relacionado con la música, en lo que ha venido siendo la inmensa mayoría de la música occidental, se cumple que se busca un punto de máxima tensi